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| Aufgabe | U.a. : Ist F( [mm] (x_{n}) [/mm] ) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x_{n} [/mm] ein lineares Funktional?
[mm] x_{n} \in l^{2}(\IN) [/mm] |
Jetzt fängt es schon damit an, dass F ja eine Abb. vom [mm] l^{2}(\IN) [/mm] nach [mm] \IC [/mm] sein soll.
Aber daraus dass [mm] x_{n} \in l^{2}(\IN), [/mm] also [mm] \summe_{n=1}^{\infty} |x_{n}|^{2} [/mm] < [mm] \infty [/mm] muss doch nicht folgen, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x_{n} [/mm] konvergiert, oder?
Bedeutet das schon, dass F kein lin. Funktional ist?
Und wenn es an die Stetigkeit geht und ich eine Folge [mm] x_{mn} [/mm] mit [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} x_{mn} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] ansetze, läuft es ja auf die Frage hinaus, ob ich limes und Summe vertauschen kann, oder?
Und wie sieht das ganze aus, wenn F( [mm] (x_{n}) [/mm] ) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x_{n}*z^{n} [/mm] mit |z|<1 ?
Wäre nett, wenn das jemand näher erläutern könnte.
mfg steele
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du hast vollkommen Recht; Dein erstes "Funktional" ist gar nicht wohldefiniert, etwa für [mm] $x_n= \frac{1}{n}$.
[/mm]
Zur zweiten Frage:
Aus Cauchy-Schwarz folgt ja unmittelbar die Stetigkeit von $F$. Hier hat man also ein stetiges Funktional von [mm] $l^2$ [/mm] nach [mm] $\IC$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Mo 09.01.2006 | | Autor: | steelscout |
Ah alles klar, Cauchy - Schwarz hat ich mal wieder vergessen ;)
Edit: Der Rest hat sich auch erledigt. Thx.
Frage kann als erledigt markiert werden.
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