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| Aufgabe | In zwei Erzgruben entstehen jeweils neben den fixen Kosten von 500 GE die variablen Kosten in Abhängigkeit von den Fördermengen x ME bzw. y ME:
[mm] K_{1} [/mm] = [mm] 0,5x^{2} [/mm] und [mm] K_{2} [/mm] = [mm] y^{2} [/mm] + 2y
Aus beiden Gruben sollen insgesamt 80 ME gefördert werden.
Berechnen Sie die Fördermengen, bei denen die geringsten Gesamtkosten entstehen! Wenden Sie dazu die "Langrange Multiplikatoren" an! |
Hi liebe Leute,
ich habe die Aufgabe eigentlich gelöst (hoffe ich *g*), aber ich bin mir nicht ganz sicher ob das so passt. Daher wollte ich euch bitten, einmal drüber zu sehen und mir eine Bestätigung bzw. Korrektur zu geben. Mein Ansatz:
Nebenbedingung: x + y = 80 -> y = 80 - x
-> K(x,y) = 2 * 500 + [mm] K_{1}(x) [/mm] + [mm] K_{2}(y)
[/mm]
-> K(x,y) = 1000 + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + 2y
-> K(x,80-x) = 1000 + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + (80 - [mm] x)^{2} [/mm] * (80 - x) = Gesamtkostenfunktion
-> L(x,y,z) = K(x,y) + [mm] \lambda [/mm] * g(x,y)
-> Nebenbedingung: x + y = 80 -> 0 = x + y -80
-> K(x,y) = 1000 + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + 2y + [mm] \lambda(x [/mm] + y -80)
1.) -> [mm] L_{x} [/mm] = x + [mm] \lambda [/mm]
2.) -> [mm] L_{y} [/mm] = 2y + [mm] 2\lambda
[/mm]
3.) -> [mm] L_{\lambda} [/mm] = x + y - 80
-> alle nun gleich null setzen:
1.) -> x = -2
2.) -> [mm] -\lambda [/mm] = 2y + 2
3.) -> x + y = 80
daraus folgt:
-> x = 2y + 2
-> (2y + 2) + y = 80
-> y = 26
-> x = 54
Dies sind meine beiden Fördermengen! Ist das so alles (Ergebnis, Wege) ok?
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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> In zwei Erzgruben entstehen jeweils neben den fixen Kosten
> von 500 GE die variablen Kosten in Abhängigkeit von den
> Fördermengen x ME bzw. y ME:
>
> [mm]K_{1}[/mm] = [mm]0,5x^{2}[/mm] und [mm]K_{2}[/mm] = [mm]y^{2}[/mm] + 2y
>
> Aus beiden Gruben sollen insgesamt 80 ME gefördert werden.
>
> Berechnen Sie die Fördermengen, bei denen die geringsten
> Gesamtkosten entstehen! Wenden Sie dazu die "Langrange
> Multiplikatoren" an!
Hallo,
zunächst einmal: das Ergebnis ist richtig.
Da Du es ausdrücklich mit Lagrange-Multiplikatoren machen sollst (käme ein normaler Mensch bei dieser Aufgabe auf solch eine Idee???), würde ich weglassen, was damit nichts zu tun hat, z.B. die Darstellung der Kostenfunktion in Abhängigkeit von x (mit welcher ich normalerweise rechnen würde...).
> Nebenbedingung:
g(x,y)=x + y = 80
> -> y = 80 - x
>
Gesamtkostenfunktion
> -> K(x,y) = 2 * 500 + [mm]K_{1}(x)[/mm] + [mm]K_{2}(y)[/mm]
> -> K(x,y) = 1000 + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + 2y
> -> K(x,80-x) = 1000 + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + (80 - [mm]x)^{2}[/mm] *
> (80 - x) = Gesamtkostenfunktion
>
> -> L(x,y,z) [mm] L(x,y,\lambda)= [/mm] K(x,y) + [mm]\lambda[/mm] * g(x,y)
> -> Nebenbedingung: x + y = 80 -> 0 = x + y -80
> -> K(x,y) [mm] L(x,y,\lambda)= [/mm] 1000 + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + 2y + [mm]\lambda(x[/mm] + y -80)
>
> 1.) -> [mm]L_{x}[/mm] = x + [mm]\lambda[/mm]
2.)[mm]L_{y}[/mm] = 2y + 2 +[mm]\lambda[/mm]
> 3.) -> [mm]L_{\lambda}[/mm] = x + y - 80
>
> -> alle nun gleich null setzen:
>
> 1.) -> x = -2
> 2.) -> [mm]-\lambda[/mm] = 2y + 2
> 3.) -> x + y = 80
>
> daraus folgt:
>
> -> x = 2y + 2
> -> (2y + 2) + y = 80
>
> -> y = 26
> -> x = 54
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Analytiker |
Hi Angela,
vielen Dank für deine Antwort. Da hast du natürlich Recht, das ich "K" in Abhängigkeit von "x" weglassen kann... Danke.
Liebe Grüße
Analytiker
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