Integrierbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Liebe MitdenkerInnen,
ich möchte hier gerne eine Frage aufs Podium bringen, die
von hawkingfan in einem anderen Bezirk des Forums
gestellt worden ist:
Link
und die ich für interessant genug für eine Diskussion in
einem eventuell etwas engeren, aber mehr spezialisierten
Kreis finde.
Gegeben ist die Funktion
f: [mm] x\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in \IR\setminus \IQ \\ \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x=\bruch{p}{q}\in \IQ\qquad \text{(Bruch gekürzt, also p und q teilerfremd)}\end{cases}
[/mm]
Es soll gezeigt werden, dass diese Funktion, obwohl sie
keineswegs stetig ist und keine Stammfunktion hat,
trotzdem auf dem Intervall [0;1] Riemann-integrierbar
(mit dem Integralwert 0) ist.
Mit der Hoffnung auf gute Antworten
Al-Chwarizmi
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Wie die Überschrift
"IntegrierbarkeitIch möchte hii"
zustande gekommen ist, ist mir zwar etwas räzzelhapht,
aber filaicht erhoeht sickh damit die Läserkwote ein
Stügk weit ...
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> Wie die Überschrift
>
> "IntegrierbarkeitIch möchte hii"
>
> zustande gekommen ist, ist mir zwar etwas räzzelhapht,
> aber filaicht erhoeht sickh damit die Läserkwote ein
> Stügk weit ...
Hallo,
ich hab' jetzt mal etwas Unkraut gejätet,
falls Du jedoch sehr an diesem originellen Titel mit seinem "hii" hängst, kannst Du Dich ja melden.
Gruß v. Angela
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> Gegeben ist die Funktion
>
> f: [mm]x\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in \IR\setminus \IQ \\ \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x=\bruch{p}{q}\in \IQ\qquad \text{(Bruch gekürzt, also p und q teilerfremd)}\end{cases}[/mm]
>
> Es soll gezeigt werden, dass diese Funktion, obwohl sie
> keineswegs stetig ist und keine Stammfunktion hat,
> trotzdem auf dem Intervall [0;1] Riemann-integrierbar
> (mit dem Integralwert 0) ist.
Hallo,
festhalten kann man ja schonmal, daß [mm] 0\le [/mm] f gilt.
Als Idee zur Lösung hätte ich folgendes:
man findet für f eine Folge von oberen Treppenfunktionen [mm] t_n, [/mm] deren Integral gegen 0 geht.
Ungefähr so:
sei [mm] n\in \IN.
[/mm]
Es gibt in [0,1] nur endlich viele Punkte [mm] \bruch{p}{q}, [/mm] für welche q<n ist.
Um diese endlich vielen Punkte herum verteile ich Intervalle so, daß die Gesamtlänge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] beträgt.
Jetzt definiere ich die Funktion [mm] t_n [/mm] auf [0,1] so, daß der Funktionswert auf diesen Intervallen =1 ist, außerhalb der Intervalle = [mm] \bruch{1}{n}.
[/mm]
[mm] t_n [/mm] ist eine Treppenfunktion, es ist [mm] 0\le f\le t_n.
[/mm]
Das Integral von [mm] t_n [/mm] kann man nach oben abschätzen durch [mm] \bruch{1}{n}+ \bruch{1}{n}= \bruch{2}{n}.
[/mm]
Also hat man [mm] 0\le \integral_{0}^{1}f(x)\le \bruch{2}{n},
[/mm]
und somit ist [mm] \integral_{0}^{1}f(x)=0.
[/mm]
Mich überzeugt's voll und ganz. Ich freue mich jetzt gerade darüber. Mal schauen, ob es Widerspruch gibt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Mo 06.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo,
eine Lösung mit Obersummen: Sei [mm] \varepsilon \in [/mm] (0,1)
nach Def. von f gibt nur endlich viele x in [0,1] mit:
$f(x) [mm] \ge \bruch{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Die Anzahl dieser Stellen sei $N$. Sei Z = { [mm] x_0, x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] } eine Zerlegung von [0,1], die schon so fein ist, dass
[mm] $d_j:= x_j-x_{j-1} \le \bruch{\varepsilon}{4N}$ [/mm] für j = 1, ..., n
gilt.
Sei [mm] M_j [/mm] := sup{ f(x): x [mm] \in [x_{j-1}, x_j] [/mm] }
Sei
[mm] D_{\varepsilon} [/mm] = { j: [mm] M_j \ge \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] }
und
[mm] E_{\varepsilon} [/mm] = { j: [mm] M_j [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] }
Beachte: die Anzahl der Elemente in [mm] D_{\varepsilon} [/mm] ist $ [mm] \le [/mm] 2N$
Für die Obersumme von [mm] S_f(Z) [/mm] f bezügl. Z gilt dann:
[mm] S_f(Z) [/mm] = [mm] \summe_{j \in D_{\varepsilon}}^{}M_jd_j [/mm] + [mm] \summe_{j \in E_{\varepsilon}}^{}M_jd_j.
[/mm]
Wegen 0 [mm] \le [/mm] f [mm] \le1 [/mm] auf [0,1] folgt:
[mm] S_f(Z) \le \summe_{j \in D_{\varepsilon}}^{}d_j [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2}\summe_{j \in E_{\varepsilon}}^{}d_j \le [/mm] $2N [mm] \bruch{\varepsilon}{4N}$+ \bruch{\varepsilon}{2}\summe_{j= 1}^{n}d_j [/mm] = [mm] \varepsilon.
[/mm]
Fazit: zu jedem [mm] \varepsilon \in [/mm] (0,1) gibt es eine Zerlegung Z von [0,1] mit:
$0 [mm] \le S_f(Z) \le \varepsilon$
[/mm]
Bez. wir mit [mm] U_f [/mm] und [mm] O_f [/mm] das untere bzw. obere Riemannint., sogilt (da [mm] O_f [/mm] das Infimum über alle Obersummen ist):
$0 [mm] \le U_f \le O_f \le [/mm] 0$,
also [mm] U_f [/mm] = [mm] O_f [/mm] = 0.
Damit ist f Riemann-int. und [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 0.
FRED
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Hallo Angela und Fred,
vielen Dank für die Antworten. So in der Weise hatte
ich mir einen Beweis auch vorgestellt. Nur war mir nicht
recht klar, wie man der (sehr starken) Forderung der
Riemann-Integrierbarkeit gerecht werden kann, dass
dann alle Folgen von Riemannschen Summen, für
welche die maximale Intervallbreite gegen Null strebt,
gegen Null streben. Dazu kann es ja nicht genügen,
eine bestimmte Art von Zerlegungen vorzugeben, bei
denen es klappt. Um alle überhaupt möglichen Zer-
legungen "unter dem Deckel zu halten", ist also die
Überlegung zentral, dass man mit dem Supremum-
Begriff solche Treppenfunktionen definieren kann, die
garantiert mindestens so grosse Summenwerte liefern
wie jede nur denkbare zulässige entsprechend feine
Zerlegung - und deren Flächen trotzdem gegen Null
streben.
Ich wollte mir zunächst einen Überblick über den Graph
der Funktion f verschaffen und dann die Mengen
[mm] $M_q\ [/mm] =\ [mm] \{x\in\IQ\cap [0,1]\ \text{\Large{|}}\ \ x=\bruch{p}{q}\ \ mit\ \ p\in\IN\ \ und\ \ p,q\ \ teilerfremd\,\}$
[/mm]
in "Christo - Manier" separat verpacken, so, dass ich
die Gesamtfläche der Verpackung z.B. mit einer
geometrischen Reihe hätte abschätzen und dann
gegen Null schrumpfen lassen können.
Das wird aber doch ein wenig kompliziert - nebenbei
ist mir dabei aber aufgefallen, dass in der Menge der
Punkte, die den Graph von f bilden, sehr interessante
Strukturen stecken, die näher zu untersuchen sich
lohnen könnte.
Liebe Grüße
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Mo 06.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das wird aber doch ein wenig kompliziert - nebenbei
> ist mir dabei aber aufgefallen, dass in der Menge der
> Punkte, die den Graph von f bilden, sehr interessante
> Strukturen stecken,
Hallo Al,
dann lass uns mal Einblick nehmen....
Gruß FRED
> die näher zu untersuchen sich
> lohnen könnte.
>
> Liebe Grüße
>
> Al
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Hallo Fred,
nur mal so die ersten Beobachtungen - mehr habe ich
auch noch nicht:
Die Punkte [mm] P_n\left(\bruch{1}{n}/\bruch{1}{n}\right) [/mm] bilden eine harmonische Punktfolge
auf der Hauptdiagonalen y=x des Einheitsquadrates.
Spiegelbildlich dazu, auf der anderen Diagonalen y=1-x
liegen die Punkte [mm] Q_n\left(1-\bruch{1}{n}/\bruch{1}{n}\right).
[/mm]
Alle weiteren Punkte des Graphen (mit rationalem x)
liegen im Inneren des Dreiecks ABM mit A(0/0), B(1/0), [mm] M(\bruch{1}{2}/\bruch{1}{2}).
[/mm]
Betrachten wir einmal die Punkte [mm] P_2 [/mm] und [mm] P_3 [/mm] (wie oben
definiert sowie ihre Projektionen [mm] P_2' [/mm] und [mm] P_3' [/mm] auf die x-Achse.
Diese 4 Punkte bilden ein Trapez, dessen Diagonalenschnitt-
punkt der Punkt [mm] \left(\bruch{2}{5}/\bruch{1}{5}\right) [/mm] ist, der ebenfalls ein Punkt des
Graphen ist. Im Dreieck ABC (mit C(1/1)) erkennt man
eine Folge aneinander gefügter Trapeze, deren Diagonalen-
schnittpunkte [mm] \left(\bruch{2}{3}/\bruch{1}{3}\right), \left(\bruch{2}{5}/\bruch{1}{5}\right),\left(\bruch{2}{7}/\bruch{1}{7}\right) [/mm] etc. natürlich auch auf
einer Geraden liegen.
Et cetera !
Vielleicht nichts Weltbewegendes, aber doch wenigstens
irgendwie hübsch ... und in diesem Punktgitter müsste
doch trotzdem die ganze Fülle der ganzen und der ratio-
nalen Zahlen, der Primzahleigenschaften etc. stecken !
lieben Gruß
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Mo 06.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> nur mal so die ersten Beobachtungen - mehr habe ich
> auch noch nicht:
>
> Die Punkte [mm]P_n\left(\bruch{1}{n}/\bruch{1}{n}\right)[/mm] bilden
> eine harmonische Punktfolge
> auf der Hauptdiagonalen y=x des Einheitsquadrates.
> Spiegelbildlich dazu, auf der anderen Diagonalen y=1-x
> liegen die Punkte
> [mm]Q_n\left(1-\bruch{1}{n}/\bruch{1}{n}\right).[/mm]
> Alle weiteren Punkte des Graphen (mit rationalem x)
> liegen im Inneren des Dreiecks ABM mit A(0/0), B(1/0),
> [mm]M(\bruch{1}{2}/\bruch{1}{2}).[/mm]
> Betrachten wir einmal die Punkte [mm]P_2[/mm] und [mm]P_3[/mm] (wie oben
> definiert sowie ihre Projektionen [mm]P_2'[/mm] und [mm]P_3'[/mm] auf die
> x-Achse.
> Diese 4 Punkte bilden ein Trapez, dessen
> Diagonalenschnitt-
> punkt der Punkt [mm]\left(\bruch{2}{5}/\bruch{1}{5}\right)[/mm]
> ist, der ebenfalls ein Punkt des
> Graphen ist. Im Dreieck ABC (mit C(1/1)) erkennt man
> eine Folge aneinander gefügter Trapeze, deren Diagonalen-
> schnittpunkte [mm]\left(\bruch{2}{3}/\bruch{1}{3}\right), \left(\bruch{2}{5}/\bruch{1}{5}\right),\left(\bruch{2}{7}/\bruch{1}{7}\right)[/mm]
> etc. natürlich auch auf
> einer Geraden liegen.
>
> Et cetera !
>
> Vielleicht nichts Weltbewegendes, aber doch wenigstens
> irgendwie hübsch ... und in diesem Punktgitter müsste
> doch trotzdem die ganze Fülle der ganzen und der ratio-
> nalen Zahlen, der Primzahleigenschaften etc. stecken !
>
> lieben Gruß
>
> Al
Hallo Al,
wirklich sehr interessant. Es lohnt sich, das weiter zu verfolgen.
Gruß
FRED
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Punkte stellen den Graph der Funktion dar. Man kann
darin viele Regelmässigkeiten entdecken. Durch die Linien
in der folgenden Figur werden sie deutlicher:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und noch eine etwas andere Grafik, in der die roten Punkte
gekürzte und die blauen Punkte ungekürzte Brüche bedeuten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mo 06.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Al,
ich habe noch eine ( sehr kurze) Lösung, die allerdings Kenntnisse erfordert, die in einem Analysis I - Kurs nicht (immer) vermittelt werden:
f ist auf [0,1] beschränkt und fast überall stetig . Nach dem Lebesqueschen Integrabilitätskriteruim ist f Riemann-integrierbar über [0,1].
Damit ist f auch Lebesque-integrierbar über [0,1] und
$R- [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = L- [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}$.
[/mm]
(Riemannintegral = Lebesqueintegral)
Da f =0 fast überall , ist $L- [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 0$. Somit:
$R- [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] =0$
Gruß FRED
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