Injektiver Gruppenhomom. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe, Für a [mm] \in [/mm] G definiere die Abbildung
$ [mm] \sigma_{a}: [/mm] G [mm] \to [/mm] G, [mm] b\mapsto [/mm] ab. $
Zeigen Sie, dass [mm] \sigma_{a} [/mm] ein Element der symmetrischen Gruppe S(G) ist und dass die Abbildung
$ f:G [mm] \to [/mm] S(G), a [mm] \mapsto \sigma_{a} [/mm] $
ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. |
Hallo,
Frage: ist das b in $ [mm] \sigma_{a}: [/mm] G [mm] \to [/mm] G, [mm] b\mapsto [/mm] ab. $ aus G? Ich bin mal davon ausgegangen, es steht aber nicht explizit da.
Meine Lösung:
Beh.: (i) $ [mm] \sigma_{a} \in [/mm] S(G) $
(ii) $ G [mm] \to [/mm] S(G), a [mm] \mapsto \sigma_{a} [/mm] ist ein inj. Gruppenhomom. $
(i)
Bew.:
zz: [mm] \sigma_{a} [/mm] ist bij. <=> [mm] \sigma_{a} [/mm] ist inj. und [mm] \sigma_{a} [/mm] ist surj.
inj.: Seien x,y [mm] \in [/mm] G, x [mm] \not= [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(y)
[mm] \sigma_{a}(x) [/mm] = ax [mm] \not= [/mm] ay = [mm] \sigma_{a}(y)
[/mm]
surj.: [mm] \sigma_{a}(x) [/mm] = ax. Ist a,x [mm] \in [/mm] G, so ist auch ax [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow \sigma_{a}(G) [/mm] = G
[mm] \Rightarrow \sigma_{a} [/mm] ist bij. [mm] \Rightarrow \sigma_{a} \in [/mm] S(G)
(ii)
$ f:G [mm] \to [/mm] S(G), a [mm] \mapsto \sigma_{a} [/mm] $
ist f ein Gruppenhomom.?
Seien x,y [mm] \in [/mm] G (wie gesagt, ich nehm hier an, dass [mm] b\in [/mm] G und b fest)
f(xy) = [mm] \sigma_{xy} [/mm] = (xy)b
f(x)*f(y) = [mm] \sigma_{x} [/mm] * [mm] \sigma_{y} [/mm] = xb*yb
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist kein Gruppenhomom.
Hier bin ich mir aber nicht sicher...
Freue mich über Feedback.
Ciao
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sei G eine Gruppe, Für a [mm]\in[/mm] G definiere die Abbildung
> [mm]\sigma_{a}: [/mm] G[mm] \to G, b\mapsto ab.[/mm]
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\sigma_{a}[/mm] ein Element der symmetrischen Gruppe S(G) ist
> und dass die Abbildung
> [mm]f:G \to S(G), a \mapsto \sigma_{a}[/mm]
> ein injektiver
> Gruppenhomomorphismus ist.
> Hallo,
>
> Frage: ist das b in [mm]\sigma_{a}: G \to G, b\mapsto ab.[/mm] aus
> G? Ich bin mal davon ausgegangen, es steht aber nicht
> explizit da.
Doch, es steht da nämlich in rot.
>
> Meine Lösung:
>
> Beh.: (i) [mm]\sigma_{a} \in S(G)[/mm]
> (ii) [mm]G \to S(G), a \mapsto \sigma_{a} ist ein inj. Gruppenhomom.[/mm]
>
> (i)
> Bew.:
> zz: [mm]\sigma_{a}[/mm] ist bij. <=> [mm]\sigma_{a}[/mm] ist inj. und
> [mm]\sigma_{a}[/mm] ist surj.
>
> inj.: Seien x,y [mm]\in[/mm] G, x [mm]\not=[/mm] y [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\not=[/mm]
> f(y)
> [mm]\sigma_{a}(x)[/mm] = ax [mm]\not=[/mm] ay = [mm]\sigma_{a}(y)[/mm]
>
> surj.: [mm]\sigma_{a}(x)[/mm] = ax. Ist a,x [mm]\in[/mm] G, so ist auch ax
> [mm]\in[/mm] G [mm]\Rightarrow \sigma_{a}(G)[/mm] = G
Das ist kein Beweis für die Surjektivität.
Du musst zeigen, dass es für alle y [mm] \in [/mm] G ein x [mm] \in [/mm] G gibt, so dass [mm] \sigma_a(x) [/mm] = y ist.
>
> [mm]\Rightarrow \sigma_{a}[/mm] ist bij. [mm]\Rightarrow \sigma_{a} \in[/mm]
> S(G)
>
>
> (ii)
> [mm]f:G \to S(G), a \mapsto \sigma_{a}[/mm]
>
> ist f ein Gruppenhomom.?
> Seien x,y [mm]\in[/mm] G (wie gesagt, ich nehm hier an, dass [mm]b\in[/mm] G
> und b fest)
> f(xy) = [mm]\sigma_{xy}[/mm] = (xy)b
Das zweite Gleichheitszeichen ist Unsinn. Links davon steht eine Abbildung aus S(G), rechts davon ein Gruppenelement von G.
> f(x)*f(y) = [mm]\sigma_{x}[/mm] * [mm]\sigma_{y}[/mm] = xb*yb
>
Was soll * hier bedeuten ? Die Verknüpfung in S(G) ist [mm] \circ [/mm] , die Verkettung von Abbildungen.
Es ist zu zeigen, dass f(xy) = f(x) [mm] \circ [/mm] f(y) ist, also [mm] \sigma_{xy} [/mm] = [mm] \sigma_x\circ\sigma_y [/mm] d.h.
[mm] \sigma_{xy}(b) [/mm] = [mm] \sigma_x(\sigma_y(b))
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist kein Gruppenhomom.
>
> Hier bin ich mir aber nicht sicher...
>
>
> Freue mich über Feedback.
> Ciao
Gruß Sax.
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