Induktionsbeweis einer Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | [mm] a_{0}:=3 [/mm] und [mm] b_{0}:=1. [/mm] Für [mm] n\in\IN [/mm] gelte: [mm] a_{n}= \bruch{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} [/mm] und [mm] b_{n}= \bruch{3}{a_{n}}
[/mm]
zeige, dass [mm] a_{n}-b_{n}=\bruch{(a_{n-1}-b_{n-1})^2}{2*(a_{n-1}+b_{n-1})} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] gelte. |
| Aufgabe 2 | | dann soll ich noch zeigen, dass [mm] b_{n-1} |
hallo!
i ch hab den induktionsanfang gemacht, also das ganze für n=1 gezeigt. mein problem ist jedoch, dass ich gar nicht weiß, wie ich auf diese formel: [mm] a_{n}-b_{n}=\bruch{(a_{n-1}-b_{n-1})^2}{2*(a_{n-1}+b_{n-1})} [/mm] komme. denn wenn ich die definition von [mm] b_{n} [/mm] von [mm] a_{n} [/mm] subtrahiere, erhalte ich [mm] \bruch{(a_{n-1}+b_{n-1})^2-12}{2*(a_{n-1}+b_{n-1})}.
[/mm]
wie soll ich denn das ganze für n+1 zeigen, wenn ich ncihtmal auf die formel komme?
zu aufgabe 2:wie kann ich das für n+1 zeigen, denn ich weiß ja nicht, was genau n+1 ist. einfach nur für n n+1 einsetzen und dann die definitionen?
beste grüße
fräulein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 23.04.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]a_{0}:=3[/mm] und [mm]b_{0}:=1.[/mm] Für [mm]n\in\IN[/mm] gelte: [mm]a_{n}= \bruch{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}[/mm]
> und [mm]b_{n}= \bruch{3}{a_{n}}[/mm]
>
> zeige, dass
> [mm]a_{n}-b_{n}=\bruch{(a_{n-1}-b_{n-1})^2}{2*(a_{n-1}+b_{n-1})}[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] gelte.
> dann soll ich noch zeigen, dass
> [mm]b_{n-1}
> hallo!
> i ch hab den induktionsanfang gemacht, also das ganze für
> n=1 gezeigt. mein problem ist jedoch, dass ich gar nicht
> weiß, wie ich auf diese formel:
> [mm]a_{n}-b_{n}=\bruch{(a_{n-1}-b_{n-1})^2}{2*(a_{n-1}+b_{n-1})}[/mm]
> komme. denn wenn ich die definition von [mm]b_{n}[/mm] von [mm]a_{n}[/mm]
> subtrahiere, erhalte ich
> [mm]\bruch{(a_{n-1}+b_{n-1})^2-12}{2*(a_{n-1}+b_{n-1})}.[/mm]
Hallo, die Differenz [mm] (u+v)^2-(u-v)^2 [/mm] ist [mm] u^2+2uv+v^2-(u^2-2uv+v^2)=4uv
[/mm]
Mit anderen Worten: [mm] (u+v)^2-4uv=(u-v)^2.
[/mm]
Diese -4uv entsprächen dann - auf deine Aufgabe übertragen - diesen "-12" im Zähler des letzten Bruchs.
Gruß Abakus.
> wie soll ich denn das ganze für n+1 zeigen, wenn ich
> ncihtmal auf die formel komme?
>
> zu aufgabe 2:wie kann ich das für n+1 zeigen, denn ich weiß
> ja nicht, was genau n+1 ist. einfach nur für n n+1
> einsetzen und dann die definitionen?
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> beste grüße
> fräulein
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danke abakus! aber warum gerade 12? ich weiß ja nicht, welchen wert [mm] a_{n-1} [/mm] und [mm] b_{n-1} [/mm] tatsächlich besitzen? ginge das auch wenn da jetzt keine 12, sondern irgendeine beliebige zahl stehen würde?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch
$ [mm] b_{n-1}= \bruch{3}{a_{n-1}} [/mm] $
also [mm] $a_{n-1}b_{n-1} [/mm] = 3$ und somit [mm] $4a_{n-1}b_{n-1} [/mm] = 12$ für jedes n
FRED
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