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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Di 29.05.2007 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass jeder Euklidischer Ring ein Hauptidealring ist. |
Hi Leute
Ich weiß, dass der Euklidische Ring eine Interitätsbereich ist und somit kommutativ und nullteilwefrei ist und das 1 Element hat.
Nur verstehe ich nicht genau was ein Hauptidealring ist.
ich verstehe es so, dass der ganze Ring durch nur ein Element erzeugt werden kann.
Wie zum Beispiel die Natürlichen Zahlen alle durch die 1 Erzeugt werden können. Stimmt das so ?
Und falls ja auf was muss ich den Euklidischen Ring alles untersuchen um dann zu sagen, dass die Aussage stimmt ?
Gruß
Michael
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Hallo Freak84!
> Nur verstehe ich nicht genau was ein Hauptidealring ist.
> ich verstehe es so, dass der ganze Ring durch nur ein
> Element erzeugt werden kann.
Allgemein kann in einem Hauptidealring jedes Ideal von genau einem Element erzeugt werden. Und genau das mußt Du im Beweis zeigen.
> Wie zum Beispiel die Natürlichen Zahlen alle durch die 1
> Erzeugt werden können. Stimmt das so ?
Die natürlichen Zahlen sind kein Ring. Wohl aber ist [mm]\IZ[/mm] ein Hauptidealring, denn für jedes Ideal [mm]\mathcal{A} \subset \IZ[/mm] gibt es ein [mm]m \in \IZ[/mm] mit [mm]\mathcal{A} =m\IZ = (m)[/mm].
> Und falls ja auf was muss ich den Euklidischen Ring alles
> untersuchen um dann zu sagen, dass die Aussage stimmt ?
s.o.
LG
Karsten
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