Grenzwert eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Di 27.01.2015 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}dx \rightarrow [/mm] 0 für n [mm] \rightarrow \infty.
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1-n^{2}x^{2}}\le \bruch{1}{2\wurzel{x}}. [/mm] |
Hey,
bei dieser Aufgabe steh ich momentan ein wenig auf'm Schlauch. Vor allem mit dem Hinweis, ist mir nicht wirklich klar, was damit jetzt gewonnen ist.
Hat jemand zufällig 'ne Idee? 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Di 27.01.2015 | | Autor: | Jodocus |
Schau dir mal die Konvergenzsätze, speziell den Satz der majorisierten Konvergenz an.
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Hiho,
der Hinweis ist entweder falsch gegeben oder falsch von dir abgetippt.
Es muss natürlich heißen:
> [mm]\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}\le \bruch{1}{2\wurzel{x}}.[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 27.01.2015 | | Autor: | DrRiese |
Ok, erstmal danke für die Antworten.
Hab mir den Satz bzgl der majorisierten Konvergenz mal angeschaut, aber so richtig schlau bin ich noch nicht geworden:
Also wäre das Prinzip folgendes?
Also sei dann [mm] f_{n} [/mm] unsere Funktionenfolge mit [mm] f_{n}:=\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}, [/mm] die gegen eine messbare Funktion konvergiert. Und wir haben einen Majoranten, die integrierbare Funktion [mm] g:=\bruch{1}{2\wurzel{x}}, [/mm] so dass gilt [mm] |f_{n}| \le [/mm] g
Dann gilt [mm] lim_{n \rightarrow \infty}\integral_{0}^{1} f_{n} [/mm] dx [mm] =\integral_{0}^{1}f [/mm] dx
Also muss ich dann jetzt erstmal das f bestimmen?
LG
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Hiho,
> Also muss ich dann jetzt erstmal das f bestimmen?
Ja, mach das mal.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 27.01.2015 | | Autor: | DrRiese |
Hm, ok...
Abschätzung von f:
[mm] lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}=lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{n\wurzel{x}}{n^{2}x^{2}}=lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x}}{nx^{2}} \rightarrow [/mm] 0
Aber ich glaube, dass das nicht ganz stimmt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Di 27.01.2015 | | Autor: | Jodocus |
Was führt dich denn zu dieser Annahme, dass das nicht stimmt? Das Endergebnis soll ja auch 0 sein.
Allerdings musst du diese Ungleichung für die Majorante erst einmal zeigen, danach musst du beweisen, dass diese Majorante integrierbar ist und erst dann darfst du limes und Integral vertauschen, den Grenzwert bilden und dann integrieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Di 27.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hm, ok...
>
> Abschätzung von f:
>
> [mm]lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}=lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{n\wurzel{x}}{n^{2}x^{2}}=lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x}}{nx^{2}} \rightarrow[/mm]
> 0
>
> Aber ich glaube, dass das nicht ganz stimmt, oder?
Falsch ist das nicht, aber die Darstellung ist miserabel !
$ [mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}=\bruch{\bruch{\wurzel{x}}{n}}{\bruch{1}{n^2}+x^{2}} \to [/mm] 0 $ für $ n [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Mi 28.01.2015 | | Autor: | DrRiese |
Ok, super. Dann versuch ich das mal aufzuschreiben:
Behauptung: [mm] g(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] ist eine integrierbare Majorante von [mm] f_{n}(x)
[/mm]
[mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x}}{2x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2x^{2}\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}^{3}} \le \bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
g(x) ist integrierbar über [0,1], denn
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{1}{2\wurzel{x}}dx=[\wurzel{x}]_{0}^{1}=1 [/mm] < [mm] \infty [/mm]
Nur wie soll man das mit der Konvergenz der Funktionenfolge korrekt notieren? Da hab ich jetzt nirgendwo richtige Beispiele gefunden, wonach man sich richten könnte
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Mi 28.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok, super. Dann versuch ich das mal aufzuschreiben:
>
> Behauptung: [mm]g(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm] ist eine
> integrierbare Majorante von [mm]f_{n}(x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\wurzel{x}}{2x^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{x}{2x^{2}\wurzel{x}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2x\wurzel{x}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}^{3}} \le \bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm]
Das letzte " [mm] \le [/mm] " ist für x [mm] \in [/mm] (0,1) falsch !
Ich würde so beginnen:
[mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx}
[/mm]
Warum ist das richtig ?
>
> g(x) ist integrierbar über [0,1], denn
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{1}{2\wurzel{x}}dx=[\wurzel{x}]_{0}^{1}=1[/mm]
> < [mm]\infty[/mm]
Das ist O.K.
>
> Nur wie soll man das mit der Konvergenz der Funktionenfolge
> korrekt notieren? Da hab ich jetzt nirgendwo richtige
> Beispiele gefunden, wonach man sich richten könnte
Das stimmt doch nicht !!! Das habe ich Dir gestern geschrieben:
$ [mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}=\bruch{\bruch{\wurzel{x}}{n}}{\bruch{1}{n^2}+x^{2}} \to [/mm] 0 $ für $ n [mm] \to \infty [/mm] $
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mi 28.01.2015 | | Autor: | DrRiese |
Oh, so ist es natürlich besser. Also:
[mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x}}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2x\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
Und diese Gleichung könnte man dann ja mit vollständiger Induktion zeigen.
Also Behauptung: [mm] 1+n^{2}x^{2} \ge [/mm] 2nx
I.A. n=0
[mm] 1+0^{2}x^{2}=1 \ge [/mm] 0 = 2*0*x
I.V. Als Voraussetzung gelte nun [mm] 1+n^{2}x^{2} \ge [/mm] 2nx
I.S.
[mm] 1+(n+1)^{2}x^{2}=1+(n^{2}+2n+1)x^{2}=1+n^{2}x^{2}+2nx^{2}+x^{2} \ge [/mm] (I.V.) 2nx + [mm] 2nx^{2}+x^{2} \ge [/mm] 2nx + 2x = 2(nx+x) = 2(n+1)x
Also [mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mi 28.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Oh, so ist es natürlich besser. Also:
>
> [mm]\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx}[/mm]
> = [mm]\bruch{\wurzel{x}}{2x}[/mm] = [mm]\bruch{x}{2x\wurzel{x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm]
> Und diese Gleichung könnte man dann ja mit vollständiger
> Induktion zeigen.
> Also Behauptung: [mm]1+n^{2}x^{2} \ge[/mm] 2nx
> I.A. n=0
> [mm]1+0^{2}x^{2}=1 \ge[/mm] 0 = 2*0*x
> I.V. Als Voraussetzung gelte nun [mm]1+n^{2}x^{2} \ge[/mm] 2nx
> I.S.
> [mm]1+(n+1)^{2}x^{2}=1+(n^{2}+2n+1)x^{2}=1+n^{2}x^{2}+2nx^{2}+x^{2} \ge[/mm]
> (I.V.) 2nx + [mm]2nx^{2}+x^{2} \ge[/mm] 2nx + 2x = 2(nx+x) =
> 2(n+1)x
>
> Also [mm]\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx}[/mm]
>
Binomi, Binomi, ...
$ [mm] 1+n^{2}x^{2} \ge [/mm] 2nx [mm] \gdw 1+n^2x^2-2nx \ge [/mm] 0 [mm] \gdw (1-nx)^2 \ge [/mm] 0 $
FRED
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