Grenzwert -BernoulliL'Hospital < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Di 22.11.2005 | | Autor: | Molch |
Hallo!
Ich bemühe mich momentan folgende Aufgabe zu lösen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} (\bruch{1-cos(x)}{x^{5}sin(x)}-\bruch{2}{x^4})
[/mm]
Es handelt sich ja hierbei um einen Grenzwert des Typs " [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] ".
Um ihn mit den Regeln von Bernoulli-L'Hospital berechnen zu können, muss man, wie ich annehme, den Hauptnenner bilden.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} (\bruch{(1-cos(x))x^{4}-2x^{5}sin(x)}{x^{9}sin(x)})
[/mm]
Wenn ich diesen Bruch differenziere vereinfacht sich der Therm nicht (ich nehme nicht an, dass 9maliges Differenzieren Sinn der Aufgabe sei). Eine Umformung nach
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} (\bruch{\bruch{(1-cos(x))}{x^{5}}-\bruch{2sin(x)}{x^{4}}}{sin(x)})
[/mm]
führt zwar nach Differentiation im Nenner auf ein Ergebnis lässt im Zähler jedoch wieder einen " [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] " Ausdruck entstehen...
Ich nehme an mein Fehler liegt im Ansatz, leider habe ich ihn nicht ausmachen können, deshalb wäre ich für Ratschläge sehr dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Di 22.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Molch!
Der Hauptnenner beträgt doch lediglich [mm] $x^{\red{5}}*\sin(x)$ [/mm] .
Und dann bist Du bereits nach der zweiten Anwendung  de l'Hospital fertig.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Di 22.11.2005 | | Autor: | Molch |
Danke für deine Antwort!
Wenn ich nun jedoch 2x Zähler- und Nennertherme differenziere erhalte ich ebenfalls keinen bestimmten Ausdruck:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{-3cos(x)-2xsin(x)}{20x^{3}+10x^{4}cos(x)-x^{5}sin(x)}
[/mm]
Wenn x gegen 0 konvergiert, erhalte ich einen Ausdruck der Form " [mm] \bruch{-3}{0} [/mm] ". Der Therm ist ja so nicht definiert. Oder stehe ich einmal wieder auf dem Schlauch und er hat dies gar nicht zu sein, was bedeuten würde, dass ein uneigentlicher Grenzwert [mm] -\infty [/mm] vorliegt?
Gruß,
Molch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Di 22.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Molch!
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{-3cos(x)-2xsin(x)}{20x^{3}+10x^{4}cos(x)-x^{5}sin(x)}[/mm]
Hmm, im Zähler erhalte ich etwas anderes ...
Aber der Schluss stimmt ...
> was bedeuten würde, dass ein uneigentlicher Grenzwert [mm]-\infty[/mm] vorliegt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Das habe ich auch raus!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Di 22.11.2005 | | Autor: | Molch |
Alles klar!
Vielen Dank :)!
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