Fourier-Rücktransformation < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Diesmal soll ich eine Fourier-Rücktransformation für die folgende Gauss-Glockenfunktion berechnen:
[mm] F(\omega)=\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}\sigma}e^{-\bruch{\omega ^2}{4\sigma^2}}, [/mm] sigma > 0
Dabei soll man evtl. folgendes Integral benutzen:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-ax^2}cos(tx)dx}=\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{\pi}{a}}e^{-\bruch{t^2}{4a}}
[/mm]
Bisher habe ich mich noch überhaupt nicht damit beschäftigt, sollte ich das tun, werde ich meine Erkenntnisse direkt mitteilen. (Nur, damit ich nicht wieder auf den letzten Drücker ankomme...)
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Kannst du mir bitte mitteilen, wie ihr die Fourier-Rücktransformation definiert habt? Ich gehe mal davon aus, dass dies die inverse Fourier-Transformierte ist, aber da gibt es verschiedene Definitionen (bezüglich Vorzeichen und Normierung).
Wenn du mir das hier reinschreibst, helfe ich dir auch beim Rechnen... 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> Kannst du mir bitte mitteilen, wie ihr die
> Fourier-Rücktransformation definiert habt? Ich gehe mal
> davon aus, dass dies die inverse Fourier-Transformierte
> ist, aber da gibt es verschiedene Definitionen (bezüglich
> Vorzeichen und Normierung).
Also, ich bin mir nicht ganz sicher, ob das hier das ist, was du meinst. Aber das ist das erste, was mir einfiel, dass es das vielleicht sein könnte.
Also, wir haben aufgeschrieben:
"Rücktransformation aus Frequenzbereich in den Zeitbereich
Ebenso wie für period. Zeitfunktionen (es ging da um aperiod. Zeitfuktionen) f(t)= ...
so gibt es für aperiod. Zeitfunktionen
[mm] f(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{A(\omega)e^{i\omega t}d\omega}"
[/mm]
Hilft das weiter, oder musst du noch etwas anderes wissen?
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Es handelt sich also um die ganz normale Fourier-Transformierte, wenn ich deinen Ausführungen Glauben schenken darf (und es besteht kein Grund dazu dies nicht zu tun ). Warum die Informatiker dafür wieder neue Wörter erfinden, wird ihr Geheimnis bleiben.
Nun ja, dann ist es aber wieder nur reine Rechnerei.
Zu berechnen ist:
$f(t) = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{\omega^2}{4\sigma^2}}\, e^{i\omega t}\, d\omega [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \cos(\omega t)\,d\omega [/mm] + i [mm] \, \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \sin(\omega t)\,d\omega$.
[/mm]
Nun ist
[mm] $\omega \mapsto g(\omega):=e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \sin(\omega [/mm] t)$
eine ungerade Funktion (also punktsymmetrisch zum Ursprung, d.h. es gilt [mm] $g(-\omega)=-g(\omega)$). [/mm] Dies bedeutet, dass das Integral verschwindet (die Teile über die positive und negative reelle Halbachse heben sich gegenseitig weg).
Daher folgt:
$f(t) = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \cos(\omega t)\,d\omega$.
[/mm]
Naja, und jetzt noch den Tipp ausnutzen - und dann war es das.
Du meldest dich - mit Fragen und/oder einer Lösung, nehme ich an.
So, und jetzt mal nach dieser Kinderei was Ernsthaftes. Es geht jetzt um echte Probleme:
Zwei meiner Kollegen feiern morgen abend ihre erfolgreich beendete Promotion und ich feiere mit ihnen - meine unbegrenzte Vertragsverlängerung. Jetzt sind uns aber eine Reihe möglicher Gäste abgesprungen, und wir haben doch so viel eingekauft... ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]") Kommst du morgen (ab 19:00 Uhr)? Würde mich freuen... Es gibt u.a. Feuerzangenbowle und frisch gekochtes Chili con carne... da kann man doch schlecht nein sagen.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> Es handelt sich also um die ganz normale
> Fourier-Transformierte, wenn ich deinen Ausführungen
> Glauben schenken darf (und es besteht kein Grund dazu dies
> nicht zu tun ). Warum die Informatiker dafür wieder neue
> Wörter erfinden, wird ihr Geheimnis bleiben.
Tja, so wird's wohl sein... (Aber ich bin ja schon froh, dass sie sich nicht das Schwierigste aussuchen, sondern nur die Rechnerei.
> Nun ja, dann ist es aber wieder nur reine Rechnerei.
>
> Zu berechnen ist:
>
> [mm]f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{\omega^2}{4\sigma^2}}\, e^{i\omega t}\, d\omega = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \cos(\omega t)\,d\omega + i \, \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \sin(\omega t)\,d\omega[/mm].
>
>
> Nun ist
>
> [mm]\omega \mapsto g(\omega):=e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \sin(\omega t)[/mm]
>
>
> eine ungerade Funktion (also punktsymmetrisch zum Ursprung,
> d.h. es gilt [mm]g(-\omega)=-g(\omega)[/mm]). Dies bedeutet, dass
> das Integral verschwindet (die Teile über die positive und
> negative reelle Halbachse heben sich gegenseitig weg).
Oje, bis ich das raushatte, hat's gedauert. Zuerst dachte ich, das ist klar, aber dann habe ich mich gefragt, warum das denn nur für ungerade Funktionen gilt. Aber ich hatte es mir nur irgendwie falsch vorgestellt (mit sinus hab' ich's nicht so...). Jedenfalls habe ich es jetzt verstanden und frage mich, was denn bei geraden Funktionen wäre? Da müsste man das Integral doch dann einfach aufteilen, bzw. von [mm] -\infty [/mm] bis 0 und von 0 bis [mm] \infty [/mm] stände doch dann dasselbe, und man bräuchte nur noch eins berechnen und könnte das dann mit zwei multiplizieren, oder?
> Daher folgt:
>
> [mm]f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \cos(\omega t)\,d\omega[/mm].
>
>
> Naja, und jetzt noch den Tipp ausnutzen - und dann war es
> das.
Oops, die Zeile hatte ich ganz überlesen, das muss ich erst mal machen. Aber meinst du, es würde auch mit partieller Integration gehen (das ist so das Einzige Hilfsmittel, was ich für's Integrieren habe, was anderes kann ich nicht wirklich) oder benutzt man die bei Fourier eher gar nicht? Jedenfalls käme dann bei mir nochmal das Integral über eine Sinusfunktion, und die würde ja dann wieder wegfallen. Und dann hätte ich da nur noch eine Funktion stehen. Naja, werde jetzt erst mal den Tipp benutzen...
> Du meldest dich - mit Fragen und/oder einer Lösung, nehme
> ich an.
Okay, jetzt habe ich den Tipp benutzt und mache mir mal die Arbeit meinen Rechenweg hier aufzuschreiben. Aber ich habe ein gutes Gefühl, es kürzt sich nämlich ganz schön viel weg.
f(t) = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \cos(\omega t)\,d\omega [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}\sigma}*2*\integral_{0}^{\infty}{e^{-\bruch{\omega^2}{4\sigma^2}}cos(\omega t)d\omega} [/mm] = (hier habe ich doch eine gerade Funktion, und wenn das da oben stimmt, was ich meinte, dann müsste das hier doch so gehen... und bei dem Tipp habe ich [mm] a=\bruch{1}{4\sigma^2}) \bruch{1}{\wurzel{2\pi}\sigma}*\wurzel{4\pi\sigma^2}*e^{-t^2\sigma^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}e^{-t^2\sigma^2}
[/mm]
fertig. (Habe hier zwei Zwischenschritte weggelassen, die ich aufgeschrieben hatte - sieht man das auch so oder soll ich sie noch einfügen? - Außerdem hoffe ich, dass ich mich nicht vertippt habe, der Formeleditor braucht wieder so lange...)
> So, und jetzt mal nach dieser Kinderei was Ernsthaftes. Es
> geht jetzt um echte Probleme:
Ja, das war wirklich so kindereiisch, dass sogar ich es konnte. 
> Zwei meiner Kollegen feiern morgen abend bei caesar ihre
> erfolgreich beendete Promotion und ich feiere mit ihnen -
> meine unbegrenzte Vertragsverlängerung. Jetzt sind uns aber
> eine Reihe möglicher Gäste abgesprungen, und wir haben doch
> so viel eingekauft... Kommst du morgen (ab 19:00
> Uhr)? Würde mich freuen... Es gibt u.a.
> Feuerzangenbowle und frisch gekochtes Chili con carne... da
> kann man doch schlecht nein sagen.
Naja, ich kann sowieso nie nein sagen. Aber bist du sicher, dass ich da was verloren habe? Ich kann doch nicht einfach mit wild fremden Leuten irgendwas feiern, einfach so??? Und ich habe doch mit eurer Arbeit gar nichts zu tun, bin doch nur eine arme kleine Mathe-Studentin?
Naja, muss mal sehen, wie weit ich heute noch mit meinen Aufgabe komme und außerdem muss ich noch putzen - am Mittwoch kommt die Zimmerkontrolle...
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Di 23.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Tja, so wird's wohl sein... (Aber ich bin ja schon froh,
> dass sie sich nicht das Schwierigste aussuchen, sondern nur
> die Rechnerei.
> Oje, bis ich das raushatte, hat's gedauert. Zuerst dachte
> ich, das ist klar, aber dann habe ich mich gefragt, warum
> das denn nur für ungerade Funktionen gilt. Aber ich hatte
> es mir nur irgendwie falsch vorgestellt (mit sinus hab'
> ich's nicht so...). Jedenfalls habe ich es jetzt verstanden
> und frage mich, was denn bei geraden Funktionen wäre? Da
> müsste man das Integral doch dann einfach aufteilen, bzw.
> von [mm]-\infty[/mm] bis 0 und von 0 bis [mm]\infty[/mm] stände doch dann
> dasselbe, und man bräuchte nur noch eins berechnen und
> könnte das dann mit zwei multiplizieren, oder?
Das ist absolut richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> > Daher folgt:
> >
> > [mm]f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \cos(\omega t)\,d\omega[/mm].
>
> >
> >
> > Naja, und jetzt noch den Tipp ausnutzen - und dann war es
>
> > das.
> Oops, die Zeile hatte ich ganz überlesen, das muss ich
> erst mal machen. Aber meinst du, es würde auch mit
> partieller Integration gehen (das ist so das Einzige
> Hilfsmittel, was ich für's Integrieren habe, was anderes
> kann ich nicht wirklich) oder benutzt man die bei Fourier
> eher gar nicht?
Doch, das würde auch zum Ziel führen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Allerdings müsste man dann eine Differentialgleichung lösen (ginge aber).
> Jedenfalls käme dann bei mir nochmal das
> Integral über eine Sinusfunktion, und die würde ja dann
> wieder wegfallen. Und dann hätte ich da nur noch eine
> Funktion stehen. Naja, werde jetzt erst mal den Tipp
> benutzen...
>
> > Du meldest dich - mit Fragen und/oder einer Lösung, nehme
>
> > ich an.
>
> Okay, jetzt habe ich den Tipp benutzt und mache mir mal die
> Arbeit meinen Rechenweg hier aufzuschreiben. Aber ich habe
> ein gutes Gefühl, es kürzt sich nämlich ganz schön viel
> weg.
>
> f(t) = [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \int\limits_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{\omega^2}{4 \sigma^2}}\, \cos(\omega t)\,d\omega[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi}\sigma}*2*\integral_{0}^{\infty}{e^{-\bruch{\omega^2}{4\sigma^2}}cos(\omega t)d\omega}[/mm]
> = (hier habe ich doch eine gerade Funktion, und wenn das da
> oben stimmt, was ich meinte, dann müsste das hier doch so
> gehen... und bei dem Tipp habe ich [mm]a=\bruch{1}{4\sigma^2}) \bruch{1}{\wurzel{2\pi}\sigma}*\wurzel{4\pi\sigma^2}*e^{-t^2\sigma^2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{2}e^{-t^2\sigma^2}
[/mm]
> fertig.
Auf das Ergebnis komme ich auch.
> (Habe hier zwei Zwischenschritte weggelassen, die
> ich aufgeschrieben hatte - sieht man das auch so oder soll
> ich sie noch einfügen? - Außerdem hoffe ich, dass ich mich
> nicht vertippt habe, der Formeleditor braucht wieder so
> lange...)
Alles okay.
> > So, und jetzt mal nach dieser Kinderei was Ernsthaftes.
> Es
> > geht jetzt um echte Probleme:
> Ja, das war wirklich so kindereiisch, dass sogar ich es
> konnte.
So meinte ich das nicht...
> > Zwei meiner Kollegen feiern morgen abend bei caesar ihre
>
> > erfolgreich beendete Promotion und ich feiere mit ihnen -
>
> > meine unbegrenzte Vertragsverlängerung. Jetzt sind uns
> aber
> > eine Reihe möglicher Gäste abgesprungen, und wir haben
> doch
> > so viel eingekauft... Kommst du morgen (ab 19:00
>
> > Uhr)? Würde mich freuen... Es gibt u.a.
> > Feuerzangenbowle und frisch gekochtes Chili con carne...
> da
> > kann man doch schlecht nein sagen.
> Naja, ich kann sowieso nie nein sagen. Aber bist du sicher,
> dass ich da was verloren habe? Ich kann doch nicht einfach
> mit wild fremden Leuten irgendwas feiern, einfach so??? Und
> ich habe doch mit eurer Arbeit gar nichts zu tun, bin doch
> nur eine arme kleine Mathe-Studentin?
> Naja, muss mal sehen, wie weit ich heute noch mit meinen
> Aufgabe komme und außerdem muss ich noch putzen - am
> Mittwoch kommt die Zimmerkontrolle...
Wirklich schade, dass du nicht da warst. Es sind echt viele nicht gekommen und wir hatten noch viel übrig. Außerdem hättest du den Weltmeister und vielfachen Weltrekordler im Kopfrechnen kennengelernt, mit dem ich befreundet bin: Dr. Dr. Gert Mittring, der auch in Bonn wohnt.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
Ich habe mir mal den Artikel über die Fourier-Transformation auf der wikipedia durchgelesen bzw. bin noch dabei und finde ihn sehr gut und auch recht verständlich. Vielleicht nimmst du dir ja auch mal 20 Minuten Zeit und schaust dir die Herleitung der Formeln an, die du z.Z. noch "einfach so" verwendest.
![[]](/images/popup.gif) http://www.wikipedia.de/wiki/fouriertransformation
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
