Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Zeigen Sie, dass für jede nicht negative Zufallsvariable X die folgende Gleichung gilt:
[mm] EX^n [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{nx^{n-1}(1 - F(x))} [/mm] dx
(ii) Zeigen Sie, dass für alle Zufallsvariablen X gilt:
[mm] E|X|^n [/mm] < [mm] \infty \gdw \summe_{k=1}^{\infty}k^{n-1}P(|X| [/mm] > k) < [mm] \infty
[/mm]
(iii) Zeigen Sie, dass für jede nicht negative Zufallsvariable X mit endlichem Erwartungswert gilt, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}xP(X \ge [/mm] x) = 0
Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass diese Bedingung nicht hinreichend ist für die Endlichkeit des Erwartungswerts. |
Hallo,
zu (i) habe ich bisher nur folgendes:
F ist die Verteilungsfunktion von X, also gilt F(x) = [mm] P_X((-\infty,x]) [/mm] = P(X [mm] \le [/mm] x) und [mm] F(-\infty) [/mm] = 0.
Definiere g: [mm] \IR \to \IR, [/mm] g(x) := [mm] x^n
[/mm]
Es gilt:
[mm] EX^n [/mm] = Eg(X) = [mm] \integral_{\Omega}{g(X(\omega))} dP(\omega) [/mm] = [mm] \integral_{\Omega}{(g \circ X)(\omega)} dP(\omega) \underbrace{=}_{Trafoformel} \integral_{\IR}{g(x)} d(P\circ X^{-1}) (\omega)
[/mm]
Und weiter weiß ich nicht.
Zu den restlichen Teilaufgaben bin ich auch für Ansätze/Hinweise dankbar.
Grüße
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Hallo,
i) zeige den Fall n=1.
Der allgemeine Fall folgt mit einer Substitution [mm] $z:=x^n$
[/mm]
ii) Wähle im Riemann-Integral geeignete Ober- und Untersummen.
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