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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Verallgemeinerung der Dimensionsformel für Unterräume [mm] U_k [/mm] eines Vektorraums V:
[mm]dim\summe_{k=1}^{r}U_k + \summe_{k=2}^{r}dim(U_j\cap\summe_{k=1}^{j-1}U_k) = \summe_{k=1}^{r}\summe_{k=1}^{r}dim U_k, r \in \IN [/mm]
Hinweis: Vollständige Induktion. |
Ich weiß theoretisch wie ein Beweis mit vollständiger Induktion geht. Mein Problem ist, was ist der Induktionsanfang? Man geht davon aus, dass es für n=1 gilt und schließt daraus, dass es für alle n gilt.
Ich wäre über etwas Hilfe sehr erfreut. Die Formel oben erschlägt mich.
Wenn ich das richtig verstanden habe, heißt das, die Dimension der Summe der Unterräume + die Summen der Dimension der Schnittmenge der Unterraumsummen ist gleich die Summe der Dimensionen der Unterräume. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Mo 26.11.2007 | | Autor: | neo-killer |
Hi, hab deine Aufgabe beim Forum lesen gefunden,
wir beide scheinen das gleiche Problem , zumindest fast gleiche Problem zu haben.
hier meine Seite.
deine Aufgabe unterscheidet sich in ein paar kleinen Deteils
https://matheraum.de/read?t=332255
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> Beweisen Sie folgende Verallgemeinerung der
> Dimensionsformel für Unterräume [mm]U_k[/mm] eines Vektorraums V:
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> [mm] dim\summe_{k=1}^{r}U_k [/mm] + [mm] \summe_{k=2}^{r}dim(U_j\cap\summe_{k=1}^{j-1}U_k) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{r}\summe_{k=1}^{r}dim U_k, [/mm] r [mm] \in \IN[/mm] [/mm]
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> Hinweis: Vollständige Induktion.
> Ich weiß theoretisch wie ein Beweis mit vollständiger
> Induktion geht. Mein Problem ist, was ist der
> Induktionsanfang? Man geht davon aus, dass es für n=1 gilt
> und schließt daraus, dass es für alle n gilt.
>
> Ich wäre über etwas Hilfe sehr erfreut. Die Formel oben
> erschlägt mich.
Hallo,
mich auch: der Weg zum Glück beginnt mit dem richtigen Aufschreiben, und das scheint mir nicht gelungen zu sein.
Jedenfalls würde ich erwarten , für r=2 die normale Dimensionsformel für zwei Unterräume zu erhalten, und das ist nicht der Fall.
Auf der linken Seite hast Du bei den Schnitten jeweils den Index k, das kann nicht sein, und die doppelte Summe rechts ist ja wohl auch ein Irrtum.
Plausibel erschiene mir die Sache vielleicht so:
[mm] dim\summe_{k=1}^{r}U_k [/mm] + [mm] \summe_{j=2}^{r}dim(U_j\cap\summe_{k=1}^{j-1}U_k) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{r}dim U_k, [/mm] r [mm] \in \IN[/mm] [/mm] .
Um erstmal ein bißchen durchzublicken, würde ich mir die Sache mal für r=1,2,3,4 aufschreiben.
Dann kapiert man meist besser, was gemeint ist. (Ich muß da jedenfalls tun)
Um eine Ahnung v. der Funktionsweise der Induktion zu bkommen, könnte man ja auch mal versuchen, den Fall r=3 aus dem Fall r=2 herzuleiten, und den Fall r=4 aus dem Fall r=3.
Deine Induktion läuft dann über r.
Induktionsanfang: r=1.
Gruß v. Angela
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Danke für deine Antwort. Ich habe deinen Tipp befolgt und wüsste nun gern, ob das stimmt. Übrigens, das war wirklich ein Kopierfehler.
Also ich habe folgendes raus:
r=1:
dim [mm] U_1 [/mm] = dim [mm] U_1 \Rightarrow [/mm] stimmt
r=2:
[mm]dim(U_1 + U_2) + dim(U_1 \cap U_2) = dim U_1 + dim U_2[/mm]
r=3:
[mm][mm] dim(U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] + [mm] U_3) [/mm] + [mm] (dim(U_2 \cap U_1) [/mm] + [mm] dim(U_3 \cap (U_2 [/mm] + [mm] U_1))) [/mm] = dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm] + dim [mm] U_3
[/mm]
Summen und Produktzeichen sind bei mir wie ein rotes Tuch, ich habe das Gefühl, dass ich es dann grundsätzlich nicht verstehe.
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> Danke für deine Antwort. Ich habe deinen Tipp befolgt und
> wüsste nun gern, ob das stimmt. Übrigens, das war wirklich
> ein Kopierfehler.
> Also ich habe folgendes raus:
>
> r=1:
> dim [mm]U_1[/mm] = dim [mm]U_1 \Rightarrow[/mm] stimmt
>
> r=2:
> [mm]dim(U_1 + U_2) + dim(U_1 \cap U_2) = dim U_1 + dim U_2[/mm]
>
> r=3:
> [mm][mm]dim(U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm] + [mm]U_3)[/mm] + [mm](dim(U_2 \cap U_1)[/mm] + [mm]dim(U_3 \cap (U_2[/mm] + [mm]U_1)))[/mm] = dim [mm]U_1[/mm] + dim [mm]U_2[/mm] + dim [mm]U_3[/mm]
> Summen und Produktzeichen sind bei mir wie ein rotes Tuch, ich habe das Gefühl, dass ich es dann grundsätzlich nicht verstehe.
So ist es richtig.
Ich mache das ganz oft so, daß ich mir unübersichtliche Summen und Produkte mal ausschreibe, die Zeit, die ich dadurch verliere, hole ich bei der Geschwindigkeit des Verstehens locker wieder auf.
Gruß v. Angela
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