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Cauchy-Integralfor/nullhomolog: idee,korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Sa 11.06.2022
Autor: nkln

Aufgabe
Sei [mm] \Gamma [/mm] ein Zyklus in [mm] $\mathbb{C^{\*}}$,$f$ [/mm] eine auf [mm] $\mathbb{C^{\*}}$ [/mm] holomorphe und auf [mm] $\mathbb{C}\setminus K_1(0)$ [/mm] beschränkte Funktion. Zeigen Sie, dass
[mm] $n_\Gamma(0)\cdot [/mm] f(z)= [mm] \frac{1}{2\pi i} \integral_{\Gamma} \frac{zf(w)}{w(z-w)}dw$ [/mm]
für alle $z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] aus der unbeschränkten Wegzusammenhangskomponenten von [mm] $\mathbb{C}\setminus Sp(\Gamma)$. [/mm]
Hinweis: Betrachten sie einen geeignet in  [mm] $\mathbb{C^{\*}}$ [/mm] nullhomologen Zyklus [mm] $\Gamma'$ [/mm]

Hallo zusammen,

ich benutze natürlich zuerst den Hinweis und suche mir einen geeigneten nullhomolgen Zyklus in [mm] $\Gamma'$. [/mm] Wir hatten in der VL den nullhomologen Zyklus
[mm] $\Gamma' [/mm] = [mm] \delta K_1(0)$ [/mm] mit  $ [mm] n_\gamma'(z) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls } |z|<1 \\ 0, & \mbox{falls } |z|>1 \end{cases}$ [/mm]

Wie machen ich am besten jetzt weiter?
        
Cauchy-Integralfor/nullhomolog: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Mo 13.06.2022
Autor: HJKweseleit


> Sei [mm]\Gamma[/mm] ein Zyklus in [mm]\mathbb{C^{\*}}[/mm],[mm]f[/mm] eine auf
> [mm]\mathbb{C^{\*}}[/mm] holomorphe und auf [mm]\mathbb{C}\setminus K_1(0)[/mm]
> beschränkte Funktion. Zeigen Sie, dass
> [mm]n_\Gamma(0)\cdot f(z)= \frac{1}{2\pi i} \integral_{\Gamma} \frac{zf(w)}{w(z-w)}dw[/mm]
>  
> für alle [mm]z \in \mathbb{C}[/mm] aus der unbeschränkten
> Wegzusammenhangskomponenten von [mm]\mathbb{C}\setminus Sp(\Gamma)[/mm].
>  
> Hinweis: Betrachten sie einen geeignet in  [mm]\mathbb{C^{\*}}[/mm]
> nullhomologen Zyklus [mm]\Gamma'[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> ich benutze natürlich zuerst den Hinweis und suche mir
> einen geeigneten nullhomolgen Zyklus in [mm]\Gamma'[/mm]. Wir hatten
> in der VL den nullhomologen Zyklus
>  [mm]\Gamma' = \delta K_1(0)[/mm] mit  [mm]n_\gamma'(z) = \begin{cases} 1, & \mbox{falls } |z|<1 \\ 0, & \mbox{falls } |z|>1 \end{cases}[/mm]
>  
> Wie machen ich am besten jetzt weiter?


Vielleicht hilft das weiter:

[mm] \integral_{\Gamma} \frac{zf(w)}{w(z-w)}dw= \integral_{\Gamma} \frac{(z-w)f(w)}{w(z-w)}dw+ \integral_{\Gamma} \frac{wf(w)}{w(z-w)}dw=\integral_{\Gamma} \frac{f(w)}{w}dw+ \integral_{\Gamma} \frac{f(w)}{(z-w)}dw=\integral_{\Gamma} \frac{f(w)}{w}dw- \integral_{\Gamma} \frac{f(w)}{(w-z)}dw [/mm]

Daraus ergibt sich

[mm] \frac{1}{2\pi i} \integral_{\Gamma} \frac{zf(w)}{w(z-w)}dw =\frac{1}{2\pi i} \integral_{\Gamma} \frac{f(w)}{(w-0)}dw [/mm] - [mm] \frac{1}{2\pi i}\integral_{\Gamma} \frac{f(w)}{(w-z)}dw= [/mm] ...



                
Cauchy-Integralfor/nullhomolog: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:35 Mo 20.06.2022
Autor: nkln

sorry, dass ich nicht geantwortet habe! Dein Hinweis hat sehr geholfen, wir haben den Beweis dann in unsere Lerngruppe zu Ende gebracht! Danke sehr:)
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