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| Aufgabe | | Zeige mit Residuensatz, dass [mm] \integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{32}{(6-2\*cos(t))^{2}}dz} [/mm] = [mm] \bruch{3\pi}{\wurzel{3}} [/mm] |
Hallo,
bis jetzt habe ich so weit gerechnet:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{32}{(6-e^{it}+e^{-it})^{2}}dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i}\*\integral_{\partialD}{}{ \bruch{32}{(6-z+1/z)^{2}\*z}dz} [/mm]
Die Funktion hat jetzt in z=0 eine Singularität, die innerhalb vom Einheitskreis liegt. Wie berechnet man das Residuum dazu? Mit der Formel für eine Polstelle bekomme ich Null als Ergebnis, was ja nicht sein kann, weil [mm] \bruch{3}{2*\wurzel{3}} [/mm] rauskommen muss.
Oder hab ich mich irgendwo verrechnet?
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Hallo sp1nnaker,
> Zeige mit Residuensatz, dass [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{32}{(6-2\*cos(t))^{2}}dz}[/mm]
> = [mm]\bruch{3\pi}{\wurzel{3}}[/mm]
> Hallo,
> bis jetzt habe ich so weit gerechnet:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{32}{(6-e^{it}+e^{-it})^{2}}dz}[/mm]
Das muss so lauten:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{32}{(6-\left\red{(}e^{it}+e^{-it}\right\red{)})^{2}} \ d\red{t}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{i}\*\integral_{\partialD}{}{ \bruch{32}{(6-z+1/z)^{2}\*z}dz}[/mm]
Auch hier:
[mm]\bruch{1}{i}\*\integral_{\partialD}{}{ \bruch{32}{(6-\left\red{(}z+1/z\right\red{)})^{2}\*z}dz}[/mm]
> Die Funktion hat jetzt in z=0 eine Singularität, die
> innerhalb vom Einheitskreis liegt. Wie berechnet man das
> Residuum dazu? Mit der Formel für eine Polstelle bekomme
> ich Null als Ergebnis, was ja nicht sein kann, weil
> [mm]\bruch{3}{2*\wurzel{3}}[/mm] rauskommen muss.
> Oder hab ich mich irgendwo verrechnet?
Sorge zunächst dafür, daß im Nenner ein Polynom steht.
Erweitere hier den Integranden um einen geeigneten Faktor.
Nachdem Du den Integranden erweitert hast,
hat dieser keine Singularität mehr in z=0.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Fr 24.07.2009 | | Autor: | sp1nnaker |
Danke, ich hab wirklich nur das Vz vertauschen
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