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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:42 So 21.12.2008 | | Autor: | DerLaie |
| Aufgabe | | Drei Punkte in der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen einen eindeutig festgelegten Kreis. Ein Kreis in der xy-Ebene wird durch eine Gleichung der Form ax² + ay² + bx + cy +d = 0 beschrieben. Man bestimme eine Gleichung für den Kreis in Abbildung ....(Koordinatensystem mit einbeschriebenem Kreis und die Punkte (-2,7), (-4,5) und (4,-3)) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst bitte ich um Nachsicht, falls die Aufgabe in der falschen Rubrik eingestellt ist.
Die Lösung lautet [mm] x^2 +y^2 -2x + 4y - 29 = 0[/mm].
Trotz aller Bemühungen gelingt es mir aber nicht, die Koeffizienten der allgemeinen Kreisgleichung [mm] ax^2 + ay^2 + bx +cy + d = 0 [/mm] selbst zu bestimmen. Entweder habe ich mich irgendwo verrechnet oder einen generellen Denkfehler. Ich würde mich freuen, wenn Ihr Euch einmal meinen Rechenweg anschauen und mir sagen könntet, wo der Fehler liegt.
1. Durch Umformung und quadratische Ergänzung der allgemeinen Kreisgleichung erhält man zunächst
[mm] \left (x + \bruch {b} {2a} \right)^2 + \left(y + \bruch {c} {2a} \right)^2 = -\bruch {d} {a} + \left ( \bruch {b} {2a} \right)^2 + \left ( \bruch {c} {2a} \right)^2 [/mm]
Ferner ist [mm] \left(x - x_m\right)^2 + \left(y - y_m\right)^2 = r^2 [/mm].
Daraus folgt [mm] x_m = -\bruch {b} {2a} [/mm] und [mm] y_m = -\bruch {c} {2a} [/mm].
Nach meinem Verständnis bedeutet dies: Habe ich die Koordinaten des Kreismittelpunktes errechnet, so müssten sich auch die Koeffizienten bestimmen lassen.
2. Aufstellen der Gleichungen für die Mittelpunktsberechnung und Ausmultiplizieren
[mm] \left(1\right) \left(-2-x_m\right)^2 + \left( 7-y_m\right)^2 = r^2 [/mm]
[mm] \left(2\right) \left(-4-x_m\right)^2 + \left( 5-y_m\right)^2 = r^2 [/mm]
[mm] \left(3\right) \left(4-x_m \right)^2 + \left(-3-y_m\right)^2 = r^2 [/mm]
[mm] \left(1\right) 4 + 4x_m + x_m^2 + 49 - 14y_m + y_m^2 = r^2 [/mm]
[mm] \left(2\right) 16 + 8x_m + x_m^2 + 25 - 10y_m + y_m^2 = r^2 [/mm]
[mm] \left(3\right) 16 - 8x_m + x_m^2 + 9 + 6y_m + y_m^2 = r^2 [/mm]
Wenn man nun (1) - (2) rechnet, kürzen sich zum einen die Quadratzahlen und wegen [mm] r^2 - r^2 = 0 [/mm] erhält man
[mm] 12 - 4x_m - 4y_m = 0 [/mm] --> [mm] 4x_m + 4y_m = -12 [/mm] bzw. [mm] x_m + y_m = -3 [/mm].
(1) - (3) ergibt
[mm] 28 + 12x_m - 20 y_m = 0 [/mm] --> [mm] 12x_m - 20 y_m = -28 [/mm].
Folglich erhält man
[mm] \begin{matrix}
1 & 1 & 3\\
12 & -20 & -28
\end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix}
1 & 1 & 3\\
0 & -32 & -64
\end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix}
1 & 1 & 3\\
0 & 1 & 2
\end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{matrix} [/mm]
D.h. [mm] x_m = 1 [/mm] und [mm] y_m = 2 [/mm].
Weil [mm] x_m = -\bruch {b} {2a} [/mm] und [mm] y_m = -\bruch {c} {2a} [/mm] muss gelten:
[mm] 1 = -\bruch {b} { 2a} [/mm] und [mm] 2 = -\bruch {c} {2a} [/mm].
Daraus folgt [mm] b = -2a [/mm] und [mm] c = -4a [/mm] .
Aus den ausmultiplizierten Gleichungen zu 2. schließe ich, dass [mm] a=1 [/mm] ist. Daraus folgt, dass [mm] b = -2 [/mm] und [mm] c = -4 [/mm] sein muss. Laut Lösung ist aber [mm] c = +4 [/mm] und NICHT Minus Vier .
Ich habe das Ganze schon etliche Male durchgerechnet und alles Mögliche probiert, also auch b durch -2a und c durch -4a ersetzt und mit den vorgebenen x- und y-Werten in die allgemeine Kreisgleichung eingesetzt. Egal, wie ich rechne, ich drehe mich im Kreise.
Wer weiß Rat?
Ich danke Euch im Voraus.
MfG
Ingo
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Hallo Ingo,
> Drei Punkte in der Ebene, die nicht auf einer Geraden
> liegen, bestimmen einen eindeutig festgelegten Kreis. Ein
> Kreis in der xy-Ebene wird durch eine Gleichung der Form
> ax² + ay² + bx + cy +d = 0 beschrieben. Man bestimme eine
> Gleichung für den Kreis in Abbildung ....(Koordinatensystem
> mit einbeschriebenem Kreis und die Punkte (-2,7), (-4,5)
> und (4,-3))
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
> Zunächst bitte ich um Nachsicht, falls die Aufgabe in der
> falschen Rubrik eingestellt ist.
>
>
> Die Lösung lautet [mm]x^2 +y^2 -2x + 4y - 29 = 0[/mm].
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>
> Trotz aller Bemühungen gelingt es mir aber nicht, die
> Koeffizienten der allgemeinen Kreisgleichung [mm]ax^2 + ay^2 + bx +cy + d = 0[/mm]
> selbst zu bestimmen. Entweder habe ich mich irgendwo
> verrechnet oder einen generellen Denkfehler. Ich würde mich
> freuen, wenn Ihr Euch einmal meinen Rechenweg anschauen und
> mir sagen könntet, wo der Fehler liegt.
>
> 1. Durch Umformung und quadratische Ergänzung der
> allgemeinen Kreisgleichung erhält man zunächst
>
> [mm]\left (x + \bruch {b} {2a} \right)^2 + \left(y + \bruch {c} {2a} \right)^2 = -\bruch {d} {a} + \left ( \bruch {b} {2a} \right)^2 + \left ( \bruch {c} {2a} \right)^2 [/mm]
>
> Ferner ist [mm]\left(x - x_m\right)^2 + \left(y - y_m\right)^2 = r^2 [/mm].
>
> Daraus folgt [mm]x_m = -\bruch {b} {2a}[/mm] und [mm]y_m = -\bruch {c} {2a} [/mm].
>
> Nach meinem Verständnis bedeutet dies: Habe ich die
> Koordinaten des Kreismittelpunktes errechnet, so müssten
> sich auch die Koeffizienten bestimmen lassen.
>
> 2. Aufstellen der Gleichungen für die
> Mittelpunktsberechnung und Ausmultiplizieren
>
> [mm]\left(1\right) \left(-2-x_m\right)^2 + \left( 7-y_m\right)^2 = r^2[/mm]
>
> [mm]\left(2\right) \left(-4-x_m\right)^2 + \left( 5-y_m\right)^2 = r^2[/mm]
>
> [mm]\left(3\right) \left(4-x_m \right)^2 + \left(-3-y_m\right)^2 = r^2[/mm]
>
> [mm]\left(1\right) 4 + 4x_m + x_m^2 + 49 - 14y_m + y_m^2 = r^2[/mm]
>
> [mm]\left(2\right) 16 + 8x_m + x_m^2 + 25 - 10y_m + y_m^2 = r^2[/mm]
>
> [mm]\left(3\right) 16 - 8x_m + x_m^2 + 9 + 6y_m + y_m^2 = r^2[/mm]
>
>
> Wenn man nun (1) - (2) rechnet, kürzen sich zum einen die
> Quadratzahlen und wegen [mm]r^2 - r^2 = 0[/mm] erhält man
>
> [mm]12 - 4x_m - 4y_m = 0[/mm] --> [mm]4x_m + 4y_m = -12 [/mm] bzw. [mm]x_m + y_m = -3 [/mm].
>
> (1) - (3) ergibt
>
> [mm]28 + 12x_m - 20 y_m = 0[/mm] --> [mm]12x_m - 20 y_m = -28 [/mm].
>
> Folglich erhält man
>
> [mm]\begin{matrix}
1 & 1 & 3\\
12 & -20 & -28
\end{matrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{matrix}
1 & 1 & 3\\
0 & -32 & -64
\end{matrix}[/mm]
>
>
> [mm]\begin{matrix}
1 & 1 & 3\\
0 & 1 & 2
\end{matrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{matrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{matrix}[/mm]
>
> D.h. [mm]x_m = 1[/mm] und [mm]y_m = 2 [/mm].
>
> Weil [mm]x_m = -\bruch {b} {2a}[/mm] und [mm]y_m = -\bruch {c} {2a}[/mm] muss
> gelten:
>
> [mm]1 = -\bruch {b} { 2a}[/mm] und [mm]2 = -\bruch {c} {2a} [/mm].
>
> Daraus folgt [mm]b = -2a[/mm] und [mm]c = -4a[/mm] .
>
> Aus den ausmultiplizierten Gleichungen zu 2. schließe ich,
> dass [mm]a=1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ist. Daraus folgt, dass [mm]b = -2[/mm] und [mm]c = -4[/mm] sein
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> muss. Laut Lösung ist aber [mm]c = +4[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und NICHT Minus Vier .
Ich komme auch auf [mm] $c=\red{-}4$ [/mm] (und deine anderen Werte)
>
> Ich habe das Ganze schon etliche Male durchgerechnet und
> alles Mögliche probiert, also auch b durch -2a und c durch
> -4a ersetzt und mit den vorgebenen x- und y-Werten in die
> allgemeine Kreisgleichung eingesetzt. Egal, wie ich rechne,
> ich drehe mich im Kreise.
>
> Wer weiß Rat?
Vllt. solltest du in Betracht ziehen, dass auch Musterlösungen Fehler enthalten können 
Setze doch mal versuchsweise den einen Punkt $(-2/7)$ in die vermeintliche Lösungsgleichung [mm] $x^2 +y^2 [/mm] -2x + 4y - 29 = 0$ ein
Ob das passt ...
>
> Ich danke Euch im Voraus.
>
> MfG
> Ingo
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 So 21.12.2008 | | Autor: | DerLaie |
Hallo Schachuzipus,
vielen Dank. Ich habe das nachgeprüft. Die Musterlösung ist falsch und ich habe (ausnahmsweise  )richtig gerechnet. Habe alle drei Punkte in die Musterlösung eingesetzt. Die richtige Lösung lautet daher [mm] x^2 + y^2 - 2x - 4y - 29 = 0 [/mm].
Ich wünsche ein frohes Weihnachtsfest.
MfG
Ingo
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