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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Do 18.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | | Seien M und N höchstens abzählbare Mengen. Beweisen Sie, dass dann das Produkt M x N ebenfalls höchstens abzählbar ist. |
Zuerst habe ich mir angeschaut, wann eine Menge höchstens abzählbar ist und dann versucht zu erkennen,, was mit den Mengen M und N passiert, bei M x N .
ist n [mm] \in \IN, [/mm] so sei [mm] \IN_n [/mm] := {k [mm] \in \IN [/mm] : [mm] 1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n} ={1,...,n}
Eine Menge M heisst höchstens abzählbar [mm] :\gdw [/mm] M ist abzählbar o. endlich
Menge M heisst endlich [mm] :\gdw [/mm] M = [mm] \emptyset [/mm] oder [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : M [mm] \sim \IN_n
[/mm]
weiter heisst M abzählbar [mm] :\gdw M\sim \IN
[/mm]
zu zeigen M X N ist höchstens abzählbar.
es gibt hierbei mehrere Fälle:
(1)
M={()}
M x N = N x M = N ( N kann auch = [mm] \emptyset, [/mm] oder auch [mm] M=\emptyset [/mm] und [mm] N=\emptyset)
[/mm]
weiter gelte [mm] M\not=0 [/mm] und [mm] N\not=0
[/mm]
(2)
Sei [mm] M=\{m_1,m_2\} [/mm] und [mm] N=\{n_1,n_2,n_3\}
[/mm]
Dann ist M x [mm] N=\{(m_1,n_1),(m_1,n_2),(m_1,n_3),(m_2,n_1),m_2,n_2),(m_2,n_3)\}
[/mm]
Das zeigt doch, dass das kartesische Produkt von endlichen Mengen auch endlich ist.
(3) nur eine der Mengen ist endlich
(4) M und N abzählbar.
3 und 4 weiß ich keinen Anfang
bei (3 )müsste eine Menge endlich und die andere abzählbar sein.
bei (4),sowie auch bei (3) stolpere ich über die Äbzählbarkeit.
Zwei nichtleere Mengen heissen gleichmächtig (also hier M [mm] \sim [/mm] N)
[mm] :\gdw [/mm] es existiert eine bijektive Abbildung f: [mm] M\to [/mm] N
zu zeigen: die Abbildung [mm] f_1 M\to\IN [/mm] ist bijektiv.
hier hängst bei mir, und weiß auch nicht ob meine Ansätze richtig sind.
viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Do 18.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
> Seien M und N höchstens abzählbare Mengen. Beweisen Sie,
> dass dann das Produkt M x N ebenfalls höchstens abzählbar
> ist.
> Zuerst habe ich mir angeschaut, wann eine Menge höchstens
> abzählbar ist und dann versucht zu erkennen, was mit den
> Mengen M und N passiert, bei M x N.
Sehr gut.
> es gibt hierbei mehrere Fälle:
>
> (1) M={()}
Du meinst wohl $M$ oder $N$ sind leer.
> M x N = N x M = N ( N kann auch = [mm]\emptyset,[/mm] oder auch
> [mm]M=\emptyset[/mm] und [mm]N=\emptyset)[/mm]
>
> weiter gelte [mm]M\not=0[/mm] und [mm]N\not=0[/mm]
> (2) Sei [mm]M=\{m_1,m_2\}[/mm] und [mm]N=\{n_1,n_2,n_3\}[/mm]
Du meinst wohl $M$ und $N$ sind endlich.
> Dann ist M x
> [mm]N=\{(m_1,n_1),(m_1,n_2),(m_1,n_3),(m_2,n_1),m_2,n_2),(m_2,n_3)\}[/mm]
> Das zeigt doch, dass das kartesische Produkt von endlichen
> Mengen auch endlich ist.
Das zeigt nur, dass das kartesische Produkt einer 2-elementigen Menge mit einer 3-elementigen Menge endlich ist.
Du kannst zeigen (mit vollständiger Induktion), dass das kartesische Produkt einer $n$-elementigen Menge mit einer $m$-elementigen Menge [mm] $m\cdot [/mm] n$ Elemente hat.
Das würde ich dir zur Übung eigentlich auch mal empfehlen, denn da musst du über [mm] $\operatorname{card}(M)$ [/mm] und [mm] $\operatorname{card}(N)$ [/mm] gleichzeitig Induktion machen.
> (3) nur eine der Mengen ist endlich
>
> (4) M und N abzählbar.
>
> 3 und 4 weiß ich keinen Anfang
>
> bei (3 )müsste eine Menge endlich und die andere abzählbar
> sein.
>
> bei (4),sowie auch bei (3) stolpere ich über die
> Äbzählbarkeit.
Soweit schonmal ganz gut. Man sieht, dass du Fortschritte machst. Für 3) und 4) bleibt dir nichts anderes übrig, als wirklich eine Bijektion von [mm] $M\times [/mm] N$ auf [mm] $\IN$ [/mm] zu konstruieren.
Ich persönlich würde die Aufgabe aber anders angehen. Erstens musst du dir klar machen, dass es genügt die Behauptung für [mm] $M,N\subset\IN$ [/mm] zu zeigen. Dann würde ich versuchen, nur den 4. Fall zu betrachten, d.h.
1) Das kartesische produkt zweier abzählbarer Mengen ist abzählbar. Hier genügt es den Fall [mm] $M=N=\IN$ [/mm] zu betrachten (warum?).
2) Eine Teilmenge einer abzählbaren Menge ist höchstens abzählbar.
Dann folgen aus der zweiten Aussage nämlich auch alle anderen Fälle, denn aus [mm] $M,N\subset\IN$ [/mm] folgt [mm] $M\times N\subset\IN\times\IN$ [/mm] (Beweis?).
Aber wie zeigt man die erste Aussage? Hier musst du wie gesagt eine Bijektion [mm] $\varphi:\IN\times\IN\to\IN$ [/mm] konstruieren.
Gruß, Robert
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