3. DDR-Mathe-Olympiade, 1963, Stufe 3, Klasse 9 ("Produkt") < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 18:11 Do 01.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Das Produkt von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist [mm]\blue{110355024}[/mm]. Wie lauten die Zahlen?
Man kann die Aufgabe natürlich durch Ausprobieren lösen. Aber es geht auch ganz schnell und man muss keine einzige Rechnung schriftlich durchführen... Also: Erst denken, dann (im Kopf) rechnen...
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Sa 03.04.2004 | | Autor: | Larissa |
Also, die Zahlen müssten 101, 102, 103 und 104 lauten. Ich glaube nur, dass mein Weg nicht gerade der beste ist. Erst habe ich geguckt, aus welchen 4 aufeinanderfolgen Zahlen das Produkt 24 ist und dabei kamen dann halt 1, 2, 3 und 4 raus. Dann habe ich nur noch geguckt, wie viele Ziffern die Zahl 110355024 hat, nämlich 9. Dann habe ich mir überlegt, dass 100000000 das Produkt aus 100*100*100*100 ist und dann habe ich daran jeweils noch die 1, 2, 3 und 4 gehangen.
Es gibt bestimmt einen viel besseren Lösungsweg, aber der fällt mir jetzt nicht ein...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Sa 03.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Larissa,
das Ergebnis stimmt und die Begründung stimmt fast auch... In jedem Fall hast du dir wie gewohnt sehr hilfreiche Gedanken zu der Aufgabe gemacht.
Die Abschätzung, dass die Faktoren größer als [mm]100[/mm] sein müssen, ist richtig.
Allerdings müsste man es auch noch in die andere Richtung grob abschätzen, etwa so:
[mm]110^4 \ge 100^2 \cdot 110^2 = 100^3 \cdot 11^2 =121000000 \ge 110355024.[/mm].
Die Zahlen müssen also zwischen [mm]100[/mm] und [mm]110[/mm] liegen und dürfen zudem nicht die [mm]105[/mm] enthalten. (Warum nicht? Weil die Zahl sonst an der Einerstelle eine [mm]0[/mm] oder [mm]5[/mm] haben müsste!). Anschließend (oder auch vorher schon) kann man wie du argumentieren. Aber nur in diesem speziellen Fall ist diese Argumentation zulässig, weil an der Zehnerstelle der Faktoren eine [mm]0[/mm] steht. Ansonsten wären die beiden letzten Stellen des Produktes nicht eindeutig durch die Faktoren bestimmt, sondern man müsste sich die letzte Stelle (hier [mm]4[/mm]) anschauen und es kämen auch [mm]6[/mm], [mm]7[/mm], [mm]8[/mm] und [mm]9[/mm] als Endziffern der Faktoren in Frage.
(Das könnte man, wenn man nicht die du vorgehen möchte, auch dadurch ausschließen, dass zwar [mm]108[/mm] durch [mm]9[/mm] teilbar ist, nicht aber [mm]110355024[/mm], wie der Quersummentest beweist.)
Aber ich muss schon sagen: Das hast du toll gemacht!! Du hattest das richtige Gespür für die Aufgabe. 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
