Grenzwertbestimmung Integral < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Fr 20.01.2017 | | Autor: | Gobbles |
| Aufgabe | Gegeben ist für jedes t > 0 die Funktion ft durch ft(x) = 4e^(-4x)-8te^(-2x)+4t²
Ihr Schaubild ist Kt.
a) Geben sie die Asymptote von K0,5 an.
Das Schaubild K0,5, seine Asymptote und die Gerade x = z mit z > 0 begrenzen eine Fläche.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche für z = 1.
Für welchen Wert von z hat die FLäche den INhalt 0,5? |
Der erste Teil der Aufgabe lief reibungslos die Asymptote zu K0,5 entspricht y = 1
somit ergab sich für z = 1 eine Fläche von 0.748 FE.
Nun soll ich z so wählen das die Fläche 0.5 ergibt. Hier drehe ich mich gerade im Kreis. Folgendes habe ich bis jetzt gemacht.
Gegeben sind ja die Funktionen
K0.5 = f(x)=4e^(-4x)+4e^(-2x)+1
Asymptote g(x) = 1
ich bilde also ein Integral von 0 bis z [g(x) - f(x)]dx
eingesetzt ergibt das:
Integral von 0 bis z [ 1 - (4e^(-4x)-4e^(-2x)+1)]dx
daraus ergibt sich [ 1 - 4e^(-4x)+4e^(-2x)-1]dx
[- 4e^(-4x)+4e^(-2x)]dx
Stammfunktion bilden:
[e^(-4x)-2e^(-2x)] von 0 bis z
nun ergibt sich aus der Frage ja einen gewuchten Flächeninhalt von 0,5
also folgt:
0,5 = [e^(-4z)-2e^(-2z)] - [e^(-4*0)-2e^(-2*0)]
0,5 = [e^(-4z)-2e^(-2z)] - [1 - 2]
0,5 = [e^(-4z)-2e^(-2z)] - [-1]
0,5 = e^(-4z)-2e^(-2z) + 1 // -1
-0,5 = e^(-4z)-2e^(-2z) // *-1
0,5 = -e^(-4z)+2e^(-2z) // * ln
ln(0,5) = 4z +ln(2) - 2z // -ln(2)
ln(0,5/2) = 2z // /2
ln(1/4)/2 = z
Jedoch ergibt dieser Wert nicht den Gewünschten Flächeninhalt bei der Probe.
Ich hoffe mal mein Lösungsansatz ist nicht vollkommen falsch. =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
es ist dir ein kapitaler Fehler unterlaufen. Dort, wo du deine Gleichung logarithmierst, machst du etwas von der Form
log(a+b)=log(a)+log(b)
Dies ist nicht zulässig weil falsch. Den Rest habe ich jetzt nicht nachgerechnet, dein Ansatz stimmt aber soweit.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Fr 20.01.2017 | | Autor: | Gobbles |
Da hast du natürlich vollkommen recht was mich aber dann zu der Frage bringt ist es denn überhaupt möglich das ohne Newtonverfahren zu bestimmen sprich die Gleichung in irgendeiner Form nach z aufzulösen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Sa 21.01.2017 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
ich habe jetzt nicht alles nachgerechnet, aber anscheinend sind wir bei
[mm] $0.5=-e^{-4x}+2e^{-2x}$.
[/mm]
Nun ist [mm] $e^{-4x}=\left(e^{-2x}\right)^2$, [/mm] also
[mm] $0.5=-\left(e^{-2x}\right)^2+2e^{-2x}$
[/mm]
Substituieren mit [mm] $e^{-2x}$ [/mm] liefert dann eine quadratische Gleichung :)
Gruss,
Chris
|
|
|
|
